Als Jugendlicher besaß ich ein Buch dieses Titels, es war von einem gewissen Paul Karlson, der knapp nach dem Krieg vermutlich bei einem Flugzeugunfall ums Leben gekommen und jedenfalls verschollen ist. Karlson hatte die Fähigkeit wissenschaftliche Korrektheit mit witziger anregender Schreibkunst zu verbinden.

Ich möchte den geschätzten Lesern etwas vom Zauber der Zahlen vermitteln. Sie werden sehen dass auf diesem Gebiet der Mathematik auch höhere Erkenntnisse erstaunlich leicht zu verstehen sind.

Also Los geht’s:

Reelle Zahlen

A) Natürliche Zahlen, die heißen deshalb so, weil es die Zahlen sind die man beim Zählen verwendet. 1,2,3,4 ….

B) Ganze Zahlen: 0,1,-1,2,-2,3,-3 …...

C) Rationale Zahlen, nicht vernünftige Zahlen, sondern Brüche ½,1/3,1/4 ….

D) Irrationale Zahlen: Alle Wurzeln, pi, e, ….

D1) Algebraische Zahlen: Vor allem die vorher erwähnten Wurzeln

D2) Transzendente Zahlen: Z.B. pi oder e.

Komplexe Zahlen: Reelle Zahlen plus Wurzel aus -1 meist „i“ genannt.

So. Natürliche Zahlen, ganze Zahlen sind unbeschränkt. Aber sie sind abzählbar, d. h. man kann eine umkehrbar eindeutige Abbildung der ganzen Zahlen zu den natürlichen Zahlen finden. Z.B. wenn wir die positiven Zahlen den geraden Zahlen und die negativen Zahlen den ungeraden Zahlen zuordnen. Wir benutzen dazu die Formeln: g = 2n und -g = 2n+1; 0=0.

Dazu noch eine Randbemerkung: Der Begriff „unendlich“ ist schwer zu fassen und bei den Mathematikern eigentlich unbeliebt. Sie halten daher nach Alternativen Ausschau. Besonders elegant: Eine unendliche Menge zeichnet sich dadurch aus dass sie einer echten Untermenge gleichmächtig ist.

Überraschung: Auch die rationalen Zahlen, die Brüche, sind abzählbar.

Beweis: Wir schreiben alle (?) Brüche auf:

½ 1/3 ¼ 1/5 1/6 ….

2/3 2/4 2/5 2/6 2/7…..

¾ 3/5 3/6 3/7 3/8 ..

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Wir beschränken und auf die echten Brüche, und kümmern uns nicht um eventuelle Kürzbarkeit.

Jetzt versuchen wir alle (?) Brüche in eine Reihe zu bringen.

½ 1/3 2/3 ¾ 2/4 ¼ 1/5 2/5 3/5 ….

Also: Wir fangen im linken oberen Eck an, dann gehen wir einen Schritt nach rechts, dann schräg nach unten, dann einen Schritt hinunter dann schräg nach oben einen Schritt nach rechts ….

So erwischen wir früher oder später – eher später – alle Brüche.

Jetzt zu den irrationalen Zahlen. Ich sollte noch nachtragen was algebraische Zahlen sind: Es sind Zahlen die als Wurzeln einer Gleichung auftreten Z.B. x² + 3x = 5. Auch diese Zahlen sind abzählbar der Beweis ist aber sicher nicht so einfach wie bei den Brüchen.

Frage: Sind die irrationalen Zahlen abzählbar?

Wir beschränken uns auf Zahlen > 0 und < 1. Dann kann man eine beliebige irrationale Zahl als unendliche Dezimalzahl 0,...... schreiben.

Wir stellen uns vor die irrationalen Zahlen wären abzählbar. Dann müsste es möglich sein sie folgendermaßen hinzuschreiben:

0,x11 x12 x13 x14 …...

0,x21 x22 x23 x24 …...

0,x31 x32 x33 x34 …...

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Nun bilden wir eine Zahl nach folgender Regel:

Die erste Dezimalstelle ist ungleich x11.

Die zweite Dezimalstelle ist ungleich x22.

Die dritte Dezimalstelle ist ungleich x33 usw.

Offenbar kommt diese Zahl in unserer Auflistung nicht vor. Die irrationalen Zahlen sind also nicht abzählbar.

Fällt ihnen etwas auf? Der Begriff der Abzählbarkeit war vielen vermutlich unbekannt, und jetzt zerbrechen wir uns den Kopf über die Abzählbarkeit der irrationalen Zahlen. Da die algebraischen Zahlen, wie gesagt, abzählbar sind, kommen nur die transzendenten Zahlen als Verursacher der Überabzählbarkeit in Betracht. Obwohl wir es meist nur mit pi oder e zu tun haben gibt es also offenbar ziemlich viele transzendente Zahlen.

Was lernen wir daraus? Allzu viel Respekt vor dem Unendlichen ist unangebracht. Es gibt zumindest zwei Arten von Unendlich: Abzählbar und Überabzählbar.